Axiome des probabilités (sans détailler les tribus)
Règles de calcul (complémentaire, union, formule de Poincaré) Ex: jeu de pile ou face, boules et urnes.
Probabilité uniforme.
Combinatoire : permutations, Pascal, formule du binôme et du multinôme.
Variables aléatoires discrètes: distribution, espérance, variance, écart-type. (rappel sur les séries positives ou non)
Exemples: Bernoulli, binomiale, géométrique.
Poisson et approximation poissonienne de la binomiale.
Linéarité de l'espérance.
Ex : Collectionneur de coupons (durée moyenne) Séries génératrices.
Variables aléatoires réelles continues: distribution, densité. Médiane.
Rappel d'intégrale simple. Th. fondamental du calcul différentiel, intégration par parties, contrepartie discrète.
Comparaison séries/intégrales Exemples: loi uniforme, exponentielle, gaussienne Espérance, variance dans le cas à densité.
Fonction génératrice des moments (transformé de Laplace)
Indépendance et conditionnement:
Indépendance de variables aléatoires ou d'événements en nombre quelconque.
Loi du maximum de v.a.i.i.d.
Propriétés de stabilité de l'indépendance.
Loi jointe, marginale. Covariance. Densité multivariée (intégrale multiple comme itérées d’intégrale simples)
Espérance d'un produit de variables indépendantes.
Application à la variance d'une somme.
Moments et Estimations:
Inégalités: Cauchy-Schwarz, Jensen, croissance des normes p. Inégalités de Markov, Bienaymé-Tchebychev, Paley-Zygmund. Méthode du second moment.
Loi faible des grands nombres.
Collectionneur de coupon.
Enoncé du théorème central limit (avec des intervalles).
Statistique par quelques exemples : Estimation du paramètre d'une Bernoulli:
Intervalle de confiance en utilisant Bienaymé-Tchebychev, ou Markov exponentiel.
Intervalle de confiance asymptotique en utilisant le théorème central limit. Construction d'un test sur le paramètre.
Régression linéaire. Méthode des moindre carrés.
Rappels : Optimisation d'une fonction de plusieurs variables, dérivées partielles.